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Verben mit Präpositionalobjekten — Verbs with Fixed Prepositions
Topic: the grammar of verbs that demand a specific preposition — sich interessieren für, träumen von, sich bewerben um, sich freuen auf / über / für, sich bedanken bei … für — plus the second half of the lesson: forming questions that target a prepositional object via the Wo(r)- compound (Wofür? Woran? Wovon? Womit?) for things and preposition + wem/wen for people.
51 words in this lesson
Lesson: Verben mit Präpositionalobjekten — Verbs with Fixed Prepositions
Topic: the grammar of verbs that demand a specific preposition — sich interessieren für, träumen von, sich bewerben um, sich freuen auf / über / für, sich bedanken bei … für — plus the second half of the lesson: forming questions that target a prepositional object via the Wo(r)- compound (Wofür? Woran? Wovon? Womit?) for things and preposition + wem/wen for people.
Lernziele (Learning goals)
- Ich kann Verben mit Präpositionen, die Dativ und Akkusativ brauchen, erkennen und anwenden.
- Ich kann nach den Präpositionalobjekten fragen.
1. The opening dialogue — Mandy & Alina
The lesson opens with a friend-to-friend conversation about a job application. Every line carries at least one verb+preposition pair:
Mandy: Na, Alina, bewirbst du dich um die Stelle im Marketing-Team?
Alina: Ja, ich interessiere mich wirklich sehr für diesen Job.
Ich träume schon lange von einer Stelle im Marketing.
Ich wurde auch schon zu einem Vorstellungsgespräch eingeladen!
Mandy: Super, das freut mich für dich. Ich drücke dir die Daumen,
dass du den Job bekommst!Five verb+preposition pairs in seven lines — that's the whole lesson in one screenshot:
| Verb + Präposition | Kasus | Example from dialogue |
|---|---|---|
| sich bewerben um | + Akk. | …um die Stelle… (Akk.: die Stelle) |
| sich interessieren für | + Akk. | …für diesen Job (Akk.: diesen Job) |
| träumen von | + Dat. | …von einer Stelle (Dat.: einer Stelle) |
| einladen zu | + Dat. | …zu einem Vorstellungsgespräch (Dat.: einem Vorstellungsgespräch) |
| sich freuen für | + Akk. | Das freut mich für dich. (Akk.: dich) |
Memorize the dialogue as a single chunk — every other slide in the lesson is a variation on these five frames.
2. The core concept — what is a Präpositionalobjekt?
A prepositional object is an object that a verb requires via a preposition. The verb chooses the preposition; the preposition chooses the case.
Verb → Präposition → Kasus. Three locked-in slots. You do not get to pick.
Three layers, each lexical:
| Layer | Fixed by | Example |
|---|---|---|
| Verb | the dictionary (memorize per verb) | sich interessieren |
| Präposition | the verb (each verb has its own) | für |
| Kasus | the preposition (each prep has its own) | Akk. (für always takes Akk. in this construction) |
Why this is different from Wechselpräpositionen (lesson [](wechselpraepositionen.md)). Wechselpräpositionen switch case based on meaning (location → Dat., movement → Akk.). Präpositionalobjekt prepositions are locked by the verb — there is no Wo?/Wohin? choice. Ich denke an dich is Akk. not because of movement but because denken an takes Akk., full stop.
Why this is different from fixed-case prepositions (lesson [](../people_and_relationships/praepositionen_mit_akk_und_dat.md)). Für always takes Akk. as a free preposition (für dich). The difference here is that the preposition is chosen by the verb rather than added by the speaker for meaning. You don't say Ich interessiere mich without für — the preposition is part of the verb's identity.
3. The Akkusativ vs. Dativ axis — the two-track system
Every verb+preposition pair lives on one of two tracks. The lesson splits them into two columns; that is the single most useful drill in the lesson.
Verben mit Präposition + Akkusativ
| Verb | Prep | English | Beispielsatz |
|---|---|---|---|
| sich interessieren | für | to be interested in | Ich interessiere mich für diesen Job. |
| sich bewerben | um | to apply for | Bewirbst du dich um die Stelle? |
| sich freuen | für / auf / über | to be happy for / look forward to / be glad about | (see §4) |
| bitten | um | to ask for, request | Jo bittet seine Chefin um eine Pause. |
| denken | an | to think of/about | Eric denkt immer nur an die Arbeit. |
| sich erinnern | an | to remember | Ich kann mich nicht an seinen Namen erinnern. |
| sein | für / gegen | to be for / against | Das Team ist gegen den Projektplan. |
Verben mit Präposition + Dativ
| Verb | Prep | English | Beispielsatz |
|---|---|---|---|
| träumen | von | to dream of | Kristof und Gülcan träumen von einem großen Haus. |
| erzählen | von | to tell/talk about | Erzähle von dir! |
| anrufen | bei | to call at (someone's place / number) | Ina ruft bei der Ärztin an. |
| einladen | zu | to invite to (an event) | Dardan lädt Quang zum Essen ein. |
| fahren | mit | to go/travel by (means of transport) | Kay fährt mit dem Rad zur Arbeit. |
| wohnen | bei | to live with/at | Max wohnt bei seiner Mutter. |
| sprechen | mit | to speak with | Thea spricht mit ihrem Kollegen. |
The two-preposition special case
| Verb | Both preps | English | Beispielsatz |
|---|---|---|---|
| sich bedanken bei … für | bei + Dat. / für + Akk. | to thank (someone) for (something) | Eva bedankt sich bei ihrer Kollegin für die Hilfe. |
*Why sich bedanken gets two slots. The person you thank goes in bei + Dat.; the thing you thank them for goes in für + Akk. Two prepositional objects, one verb. Don't merge them — bedanken für jemanden* sounds wrong (it would imply you're thanking on someone else's behalf). The frame is always bei + person + für + thing.
Memorization tip. Don't memorize each verb separately — memorize them as two-track columns. When you learn a new verb-prep pair, immediately ask: Akk. oder Dat.? and put it in the right column. Over time you build an intuition for which prepositions cluster (für/um/an/gegen tend Akk.; von/mit/bei/zu tend Dat. — but only tend; the verb still decides).
4. Sich freuen — three prepositions, three meanings
The single most important micro-concept in the lesson. Sich freuen takes three different prepositions and the choice changes the meaning.
| Frame | Zeit | Subject | Meaning | Beispielsatz |
|---|---|---|---|---|
| sich freuen auf + Akk. | Zukunft (future) | you, about your own event | to look forward to | Sie freut sich auf die neue Stelle. (her first day is Wed.) |
| sich freuen über + Akk. | Vergangenheit (past) | you, about something that happened | to be glad/happy about | Sie freut sich über die Zusage. (she just got the offer) |
| sich freuen für + Akk. | egal | you, about someone else's event | to be happy for (someone) | Mandy freut sich für Alina. |
The diagnostic. Ask yourself:
1. Is the joyful event in the future (not yet happened)? → auf.
2. Has it already happened to you? → über.
3. Is it happening to someone else and you're happy on their behalf? → für.
Common English-speaker error. English uses "I'm happy for you" for both the für-meaning ("on your behalf") and sometimes loosely for the auf-/über-meaning. German is strict: für only works if the event is happening to someone else. Ich freue mich für meinen Urlaub is wrong → must be auf meinen Urlaub (future) or über meinen Urlaub (past).
Side-by-side comparison
ZUKUNFT VERGANGENHEIT ANDERE PERSON
─────── ───────────── ─────────────
auf über für
─── ──── ───
+ Akk. + Akk. + Akk.
Ich freue mich auf den Urlaub. über das Geschenk. für dich.
(next week) (just got it) (your news)5. Welche Präposition passt? — drill walkthrough (slide 5)
Pool: für (×2), um, von, zum.
| Satz | Lösung | Why |
|---|---|---|
| Kaya interessiert sich ___ moderne Literatur. | für | sich interessieren always pairs with für |
| Dardan lädt Quang ___ Essen ein. | zum | einladen zu + Dat.; zu + dem → zum |
| Samir bewirbt sich ___ die Stelle an der Uni. | um | sich bewerben always pairs with um |
| LeiLei hat den Test bestanden. Rico freut sich ___ sie. | für | someone else's success → sich freuen für |
| Kristof und Gülcan träumen ___ einem großen Haus. | von | träumen always pairs with von (note: einem = Dat.) |
6. Welcher Kasus passt? — case-choice drill (slide 7)
Each sentence forces a choice between an Akk. and a Dat. article/pronoun. The verb-prep pair dictates the answer.
| Satz | Lösung | Why |
|---|---|---|
| Sina lädt ihre Freunde und Freundinnen ___ Geburtstag ein. | zum (= zu dem) | einladen zu + Dat.; Geburtstag = m. → dem → zum |
| Michael hat im Lotto gewonnen. Barbara freut sich für ___. | ihn | für + Akk. — pronoun for masc. → ihn |
| Amir träumt von ___ gut bezahlten Job. | einem | träumen von + Dat.; Job = m. → einem |
| Fred bewirbt sich um ___ neuen Job. | einen | sich bewerben um + Akk.; Job = m. → einen |
| Pia interessiert sich für ___ neuen Laptop. | den | sich interessieren für + Akk.; Laptop = m. → den |
The drill in one sentence. Find the verb, find its preposition, look up the case, decline the article/pronoun accordingly. Every one of these problems is the same three-step pipeline.
7. Sorting drill — Akk. vs. Dat. (slide 9)
Ten sentences, sort them into the two-track table.
| Akkusativ (+ Akk. prep) | Dativ (+ Dat. prep) |
|---|---|
| 2 — Denke an den richtigen Kasus. (denken an) | 1 — Erzähle von dir. (erzählen von) |
| 4 — Jo bittet seine Chefin um eine Pause. (bitten um) | 3 — Ina ruft bei der Ärztin an. (anrufen bei) |
| 6 — Das Team ist gegen den Projektplan. (sein gegen) | 5 — Kay fährt mit dem Rad zur Arbeit. (fahren mit) |
| 9 — Duniel erinnert sich gern an den Urlaub. (sich erinnern an) | 7 — Max wohnt bei seiner Mutter. (wohnen bei) |
| 8 — Thea spricht mit ihrem Kollegen. (sprechen mit) | |
| 10 — both: Eva bedankt sich bei ihrer Kollegin für die Hilfe. (bei + Dat., für + Akk.) |
8. Satzteile zuordnen — sentence-fragment matching (slide 10)
The lesson scrambles seven sentence-starts with seven sentence-ends. Each match drills one verb-prep pair.
| Start | End | Match |
|---|---|---|
| 1. Eric denkt immer nur | e. an die Arbeit. | denken an + Akk. |
| 2. Sie fahren | a. mit dem Rad zur Arbeit. | fahren mit + Dat. |
| 3. Joao wohnt seit April | f. bei seiner Freundin. | wohnen bei + Dat. |
| 4. Jan und Maria sind | g. gegen die neuen Pläne. | sein gegen + Akk. |
| 5. Ich möchte gerne mit | b. Ihrem Chef sprechen. | sprechen mit + Dat. |
| 6. Ich kann mich nicht an | c. seinen Name erinnern. | sich erinnern an + Akk. (separable-style word order: erinnern at end) |
| 7. Kasia bedankt sich | d. bei Frau Hölzer für das nette Gespräch. | sich bedanken bei + Dat. / für + Akk. |
Note the word order in #6. Ich kann mich nicht an seinen Namen erinnern — erinnern sits at the end because the Modalverb construction (kann + Infinitiv) pushes the main verb to the end. The Präpositionalobjekt (an seinen Namen) sits before the infinitive. See word_order.md for the Modalverb + Infinitiv rule.
9. Und du? — speaking task (slide 8)
Open prompts. Use any verb-prep pair from §3.
| Prompt | Modellantwort |
|---|---|
| Ich interessiere mich … | Ich interessiere mich für Sprachen und Programmieren. |
| Ich träume … | Ich träume von einer langen Reise durch Asien. |
| Ich lade … ein. | Ich lade meine Freunde zum Geburtstag ein. (or: zu einer Party / zu einem Essen) |
*The trick to einladen. It is separable (ein-laden). In V2 position: Ich lade Freunde ein. With zu: Ich lade Freunde zum Essen ein — the prepositional object sits between the conjugated verb and the separated ein*.
10. Fragen mit Präpositionen — the Wo(r)- mechanism
The second half of the lesson teaches how to ask about a prepositional object. There are two question forms depending on whether you're asking about a thing or a person.
Statement → Question conversion
| Aussagesatz | Frage |
|---|---|
| Ich interessiere mich für Technik. | Wofür interessierst du dich? |
| Ich denke an den Feierabend. | Woran denkst du? |
| Sie erzählt von ihrem Urlaub. | Wovon erzählt sie? |
| Sie sind gegen so viele Überstunden. | Wogegen sind sie? |
The rule
Wo(r)- + Präposition forms the question word that asks about a thing.
- Before a consonant: just Wo- + Präp. → Wofür, Wovon, Womit, Wogegen, Wobei, Wozu
- Before a vowel: insert -r- → Woran, Worauf, Worüber, Worum
The -r- is purely phonetic — it prevents a vowel collision between Wo and the prep. Compare English a / an (a book, an apple): same euphonic logic.
The Wo(r)- inventory
| Question | English | Asks about |
|---|---|---|
| Wofür? | for what? | sich interessieren für, sein für, sich freuen für |
| Worüber? | about what? | sich freuen über, sprechen über, sich ärgern über |
| Worauf? | for/to what? (future) | sich freuen auf, warten auf |
| Wovon? | of/from what? | träumen von, erzählen von, sprechen von |
| Woran? | about/of what? | denken an, sich erinnern an |
| Worum? | about what? | sich bewerben um, bitten um |
| Womit? | with what? | fahren mit, sprechen mit, anfangen mit |
| Wogegen? | against what? | sein gegen, demonstrieren gegen |
| Wobei? | at/with what? | anrufen bei, helfen bei, sich bedanken bei |
| Wozu? | to what? what for? | einladen zu, gehören zu |
11. Sache oder Person? — the two-track question system (slide 14)
The Wo(r)- compound only works for things. For people, you split the preposition off:
| Frage nach Sache | Frage nach Person |
|---|---|
| Wofür interessierst du dich? | Für wen interessierst du dich? |
| Woran denkst du? | An wen denkst du? |
| Womit fährst du zur Arbeit? | Mit wem fährst du zur Arbeit? |
| Wovon hast du geträumt? | Von wem hast du geträumt? |
The rule
Sache (thing) → Wo(r)- + Präp. stays as one word.
Person → Präp. + Fragewort (wen/wem) stays as two words.
The case of the Fragewort follows the preposition's normal case:
- für, an, auf, über, um, gegen → wen (Akk.)
- von, mit, bei, zu → wem (Dat.)
Worked sort (slide 16)
| Sache | Person |
|---|---|
| 1 — Wofür interessierst du dich? | 4 — An wen erinnerst du dich? |
| 2 — Worauf freust du dich? | 6 — An wen denkst du? |
| 3 — Womit fährst du zur Arbeit? | 7 — Auf wen freust du dich? |
| 5 — Woran erinnerst du dich? | 8 — Mit wem fährst du in den Urlaub? |
The diagnostic question. When you hear a Wo(r)- form, the questioner expects a thing answer. When you hear Präp. + wen/wem, they expect a person. Train yourself to switch at the question word — Germans signal what kind of answer they want before the verb arrives.
12. So sagt man das — the colloquial Mit was?
**Mit was fährst du zur Arbeit?* — (lit. With what do you go to work?)*
— Ich nehme immer den Bus.
| Register | Form | Used by |
|---|---|---|
| Standard / Schriftsprache | Womit fährst du zur Arbeit? | textbooks, written German, formal speech |
| Umgangssprache | Mit was fährst du zur Arbeit? | everyday spoken German, all regions |
Recognize but don't write. Native speakers say mit was, für was, gegen was constantly in informal conversation — it's everywhere. But in any written exercise, exam, or formal context, use the Wo(r)- form. Womit, wofür, wogegen is what graders expect.
This is the same pattern as English speakers saying "What are you waiting for?" (colloquial) vs. "For what are you waiting?" (stiff) — German just has a third option (Worauf wartest du?) that splits the difference.
13. Stelle Fragen — turn statements into questions (slide 17)
| Aussage | Frage |
|---|---|
| Ich interessiere mich für den Job. | Wofür interessierst du dich? |
| Lara ruft bei ihren Eltern an. | Bei wem ruft Lara an? (Eltern = people → split form) |
| Wir interessieren uns für die Bewerbung. | Wofür interessiert ihr euch? |
| Ich denke an das Gehalt. | Woran denkst du? |
| Dina freut sich für Aron. | Für wen freut sich Dina? (Aron = person → split form) |
| Sie denkt nie an die Abrechnung. | Woran denkt sie nie? |
The Person/Sache decision happens at the question word. Once you've identified what kind of object the answer will replace (den Job = thing → Wo-; Aron = person → Präp. + wen), the rest of the sentence falls out.
14. Fragen und antworten — speaking pair-work (slide 18)
Ask and answer using the verb pool: sich interessieren, träumen, denken, sich erinnern, fahren, erzählen, wohnen.
| Frage | Modellantwort |
|---|---|
| Womit fährst du zur Arbeit? | Ich fahre mit dem Rad zur Arbeit. |
| Bei wem wohnst du? | Ich wohne bei meinen Eltern. / Ich wohne allein. |
| Woran erinnerst du dich gern? | Ich erinnere mich gern an meinen letzten Urlaub. |
| Wovon träumst du? | Ich träume von einem eigenen Haus. |
| Wofür interessierst du dich? | Ich interessiere mich für Sprachen und KI. |
15. Der etwas andere Anruf — extra exercise reading (slide 28)
A call-center scenario stitching together six of the lesson's verb-prep pairs. Worked completion:
Max: Ja, schönen guten Tag. Hier ist Max Stein. Ich rufe bei Ihnen an,
weil ich Sie gerne zu einer Umfrage einladen möchte.
Frau Haase: Ja, hallo. Können wir machen.
Max: Super! Interessieren Sie sich für das Thema Urlaub?
Frau Haase: Ja, na klar. Ich habe so viel Arbeit. Ich träume eigentlich immer
von Urlaub.
Max: Wie zufrieden sind Sie denn mit Ihrer Arbeit?
Frau Haase: Doch, sehr. Aber ich freue mich natürlich immer auf den Urlaub.
Max: Das freut mich für Sie, dass die Arbeit Spaß macht.
Frau Haase: Ich erzähle Ihnen gerne mehr von meiner Arbeit. Also, …The six prep-verb fills:
| Slot | Verb + Präp. | Case |
|---|---|---|
| Ich rufe bei Ihnen an | anrufen bei | + Dat. |
| …einladen | einladen zu | + Dat. |
| Interessieren Sie sich für… | sich interessieren für | + Akk. |
| Ich träume … von | träumen von | + Dat. |
| Ich freue mich … auf | sich freuen auf | + Akk. (future event) |
| Das freut mich für Sie | sich freuen für | + Akk. (someone else's joy) |
| Ich erzähle … von | erzählen von | + Dat. |
*Two appearances of sich freuen in one dialogue, with different prepositions: auf den Urlaub (her own future event) vs. für Sie* (his happiness on her behalf). This is the §4 contrast drilled live.
16. Common mistakes
| ✗ Falsch | ✓ Richtig | Why |
|---|---|---|
| Ich interessiere mich in Technik. | Ich interessiere mich für Technik. | English "interested in" ↛ German interessieren takes für |
| Ich denke über dich. | Ich denke an dich. | denken an + Akk. for "to think of/about (someone)"; über would mean "to ponder" academically |
| Ich freue mich für meinen Urlaub. | Ich freue mich auf meinen Urlaub. | future event happening to me → auf, not für |
| Ich freue mich auf das Geschenk. | Ich freue mich über das Geschenk. | already received → über, not auf (auf is for future) |
| Wofür denkst du? | Woran denkst du? | denken takes an, so Wor- + an → Woran, not Wofür |
| Mit wen fährst du? | Mit wem fährst du? | mit takes Dat. → Fragewort = wem, not wen |
| Ich bewerbe mich für die Stelle. | Ich bewerbe mich um die Stelle. | sich bewerben takes um, not für |
| Eva bedankt sich für ihrer Kollegin. | Eva bedankt sich bei ihrer Kollegin für die Hilfe. | bedanken needs both preps: bei + Person, für + Sache |
| Ich erinnere mich an seinem Namen. | Ich erinnere mich an seinen Namen. | an here is fixed-by-verb → Akk. (seinen), not Dat. |
| Mama hat angerufen mich. | Mama hat mich angerufen. | anrufen takes Akk. directly; anrufen bei + Dat. is the alternate (calling someone's place/number) |
17. Cheat-sheet — one screen
PRÄPOSITIONALOBJEKT = verb chooses preposition, preposition chooses case.
═══ AKKUSATIV-PRÄPOSITIONS ═══
sich interessieren + für (+ Akk.)
sich bewerben + um (+ Akk.)
bitten + um (+ Akk.)
denken + an (+ Akk.)
sich erinnern + an (+ Akk.)
sein + für / gegen (+ Akk.)
sich freuen + für / auf / über (+ Akk.) ← see triple below
═══ DATIV-PRÄPOSITIONS ═══
träumen + von (+ Dat.)
erzählen + von (+ Dat.)
anrufen + bei (+ Dat.)
einladen + zu (+ Dat.)
fahren + mit (+ Dat.)
wohnen + bei (+ Dat.)
sprechen + mit (+ Dat.)
═══ DOUBLE-PRÄPOSITION ═══
sich bedanken + bei (+ Dat.) + für (+ Akk.)
═══ SICH FREUEN — DIE DREI ═══
auf + Akk. → Zukunft (mein eigenes Event)
über + Akk. → Vergangenheit (mein eigenes Event)
für + Akk. → Person (jemand anderes hat ein Event)
═══ FRAGEN ═══
SACHE → Wo(r)- + Präp. (Wofür? Woran? Wovon? Womit?)
Wor- vor Vokal: an, auf, über, um
Wo- vor Konsonant: für, von, mit, gegen, bei, zu
PERSON → Präp. + wen/wem (Für wen? An wen? Mit wem? Von wem?)
wen nach Akk.-Präp. (für, an, auf, über, um, gegen)
wem nach Dat.-Präp. (von, mit, bei, zu)
═══ COLLOQUIAL ═══
"Mit was fährst du?" = "Womit fährst du?" (gesprochenes Deutsch only)18. Redewendung — Ich drücke dir die Daumen!
Ich drücke dir die Daumen! — (lit. I press the thumbs for you.)
Bedeutung: Ich wünsche dir viel Glück! / Good luck!
Jonael drückt Rhea die Daumen, dass sie ihren Traumjob bekommt.
Why thumbs, not crossed fingers
English speakers cross their fingers; Germans press their thumbs (fold them inside a closed fist). The gestures are different but the meaning is identical: a small magical action to wish someone luck. The idiom dates to medieval times when the thumb was thought to embody good fortune.
| Register | colloquial-friendly, ubiquitous |
|---|---|
| Grammatical pattern | jemandem (+ Dat.) die Daumen drücken — drücken + Dat. recipient + Akk. object |
| When to use | before any uncertain outcome (test, interview, surgery, sports match) |
| Common follow-up | …dass + Nebensatz explaining what for: Ich drücke dir die Daumen, dass du den Job bekommst! |
| Variant | Daumen drücken! — bare imperative, very common as a one-word goodbye-with-luck |
| Connection to the lesson | builds on the opening dialogue (Ich drücke dir die Daumen, dass du den Job bekommst!) and ties the entire job-application thread together |
Connections
- Wiederholung — Wechselpräpositionen () — the other kind of "preposition + case" relationship; contrast: Wechselprep cases switch by meaning (Wo?/Wohin?), Präpositionalobjekt cases are locked by the verb
- Präpositionen mit Akkusativ und Dativ () — the fixed-case prepositions (always-Akk. für, um, gegen; always-Dat. von, mit, bei, zu) — the case-rules from here propagate into the verb-prep system
- Die Firma () — direct upstream: sich bewerben, das Vorstellungsgespräch, die Stelle, die Bewerbung, die Zusage/Absage all come from there; this lesson teaches the verb-prep mechanics behind those verbs
- Am Telefon () — anrufen bei and sprechen mit both appear in both lessons; the case-government is the same
- Gefühle und Emotionen () — the prior adjective + Präposition lessons (enttäuscht von, stolz auf, glücklich über) build the same lexical-pair muscle for adjectives that this lesson builds for verbs
- Indirekte Fragesätze () — Ich frage mich, wofür sie sich interessiert — Wo(r)- words embed directly into indirect-question frames, verb-final
- Word Order (grammar) — Ich kann mich nicht an seinen Namen erinnern (Modalverb + Infinitiv pushes verb to end); Ich rufe bei meinen Eltern an (separable-verb prefix to end)
- A2 Vocabulary — Verben mit Präpositionalobjekten — every verb-prep pair from this lesson, appended to the master index